◇ 作者：中国银行上海总部金融市场部主管　王文滨 　　森浦二级交易解决方案业务主管　王乃身 　　森浦二级交易解决方案产品专家　吴小伟 　　中国银行上海总部金融市场部业务经理　袁骏青 　　◇ 本文原载《债券》2024年11月刊 　　摘   要 　　本文尝试从交易角度构建实时利率曲线，阐述基于该曲线的定价方案，阐述数据选取和清洗方案，在给定债券投资组合的情况下阐述基于实时利率曲线的关键期限基点价值对冲策略，并考察该曲线的对冲效果。与其他研究不同，本文把流动性较好的国债期货产品融入利率曲线构建和对冲之中，具有较强的实践指导意义。 　　关键词 　　Nelson-Siegel模型　利率曲线　曲线定价　对冲模型 　　人民币债券市场已经成为全球第二大债券市场，但国内债券市场的流动性结构和报价价差依然存在提升空间。目前市场上对所有固定收益资产的定价通常基于光滑零息利率曲线对不同期限的现金流贴现。而做市商需要实时利率曲线用于做市和为市场提供流动性；投资机构需要实时利率曲线及时发现交易机会，并可用于风险计量和对冲交易。特别是对于对冲交易，更需要基于其自身能获得的报价和可用的对冲工具构建日内可成交利率曲线。 　　随着金融科技与电子化交易的发展，实时利率曲线重要性更为凸显，故探讨构建实时利率曲线具有极大的经济价值。本文尝试从更实务的交易和对冲角度提供一个实时利率曲线构建的方法论。 　　本文主要分为四个部分：一是阐述实时利率曲线构建的方法论，包括曲线模型、无套利分析；二是阐述基于该曲线的定价方案；三是阐述数据选取和清洗方案；四是分析该曲线定价结果，并在给定债券投资组合的情况下阐述基于实时利率曲线的关键期限基点价值对冲策略。 　　实时利率曲线构建的方法论 　　（一）曲线模型分析 　　利率曲线中的静态模型，主要通过拟合观测数据构造，包括非参数法和参数法。本文主要讨论参数法，包括Nelson-Siegel（NS）模型及其拓展形式Svensson（SV）模型等，因其参数简单方便计算，且具有宏观意义。 　　NS模型中，即期利率的表达式为： 　　式中，τ=T-t，表示估值日期t至到期日T的剩余期限，βi（i=1，2，3）为模型参数。由模型推导可知： 　　y（τ）=β0+β1。β0为水平因子，代表长期利率水平；β1代表斜率因子，β2为曲率因子。 　　y（τ）=β0， 　　为提高利率曲线的拟合灵活性和精度，Svensson（1994）提出了NS模型的扩展模型，即在NS 模型上添加两个新参数，允许曲线出现第二个“驼峰”去拟合曲线在远端期限的曲率特征，由此构成SV 模型。 　　Diebold and Li（2006）进一步在NS模型的基础上提出了动态NS（DNS）模型。模型假设将原NS模型中的三个固定参数（β0，β1，β2）变为成三个一阶自回归过程。 　　（二）无套利分析 　　上述三个模型都没有从理论上说明模型为无套利。Duffie和Kan（1996）提出仿射利率模型，假定利率与因子间存在线性仿射形式，并基于风险中性测度对债券进行定价，因此具有无套利特征。其中，零息债券价格为状态变量的仿射函数： 　　Christensen、Diebold和 Rudebusch（2011）在仿射利率模型基础上提出了无套利NS（Arbitrage-Free Nelson-Siegel，AFNS）模型。要使得仿射利率模型具有NS模型的特征，要求仿射利率模型中零息债券价格中因子系数方程B（t，T）的解满足NS模型参数方程表达式，即 　　Coroneo、Nyholm和Vidova-Koleva（2011）实证研究了NS模型具有无套利特征。研究采用了重抽样技术，基于NS模型生成样本，将该样本用于无套利仿射利率模型，检验结果是仿射利率模型得到的因子系数方程B（t，T）与NS模型的因子系数方程B（t，T）在统计上无差别，说明NS模型具有无套利特征。 　　本文选择NS模型，理由是：首先，该模型便于快速实时计算，方便实际应用；其次，该模型参数具有一定的经济学含义；最后，如上所述，该模型理论上可以转换为无套利仿射模型，统计上也认为该模型为无套利，其定价符合市场均衡特征，其中隐含的经济信息更具有代表性。 　　实时利率曲线定价方案 　　（一）参数估计 　　本文曲线参数由基准券估计得出，假定N只基准债券的价格向量为PV=[pv1， pv2，…， pvN]T，根据每只债券的基本信息可计算现金流，假定cij为第i只债券的第j笔现金流。假定N只债券总计有M笔现金流，求解曲线即求解下列方程：PV=cP，其中c为现金流矩阵，P为零息债券价格，即贴现函数。其具有如下形式： 　　上式中，贴现函数P（τ）=exp[-y（τ）∙τ]，τj=Tj-t，t为估值日，Tj为第j笔现金流到期支付日。P（τ）可由即期利率曲线模型推算出，利率曲线函数为τi→y（τi）。曲线参数估计需要使得基于曲线的现金流贴现模型价格与现券市场价格之间尽量接近，即求解以下优化问题： 　　上式中，pvti为债券i市场价格， 　　jcijP（τj），wi为债券i权重。通常债券权重选择为债券久期的倒数。 　　（二）实时利率曲线定价 　　Jankowitsch和Nettekoven（2008）研究发现常用的曲线模型并不能完全准确地对债券定价，存在定价误差（pricing error）。定价误差通常由于债券的税收和流动性不同，但大部分这方面研究无法解释全部误差项。剩余定价误差部分是由模型设定错误或特定时段债券价格偏离市场所致。该作者提出了一个基于债券定价误差的交易策略，能获得显著的回报。作者还发现债券定价误差具有一定的趋势持续性，并不完全是随机的。 　　基于以上考虑，本文实时曲线定价及误差计算处理逻辑如下： 　　一是基于前几期曲线计算债券对应期估值与行情价格之差作为模型定价误差；行情价格优先选择收盘成交价，如果不存在则选择买卖（bid/ofr）中间价。 　　二是计算前几期定价误差的滚动均值。 　　三是构建当前最新曲线，根据最新曲线计算债券理论价格，将曲线理论价格加上误差滚动均值，作为最终模型估值。 　　四是获取最新有效市场行情，更新定价误差。 　　（三）实时利率曲线评价 　　曲线模型选择的直观考量标准是定价准确性和对冲效果，同时需要兼顾曲线计算的简便性、理论 上的一致性等。同时，也需要考虑曲线的稳定性，即曲线受单个数据点的波动影响较小，当数据小幅变动时曲线变动不应更大。 　　数据选取与清洗方案 　　国债期货与利率互换作为常用的对冲工具，同样包含与市场利率相关的信息。为使曲线更能反映当前市场状态，本文加入国债期货参与构建曲线。本文选取国债期货主力合约参与曲线构建：在主力合约可交割券中选择交易最活跃券，将国债期货价格乘以转换因子作为该券在期货结算日的债券全价。 　　为使得曲线包含更多有效信息，数据的处理同样重要。 　　（一）异常数据处理 　　由于手动输入错误或其他操作失误等，行情存在异常报价。该类报价明显大幅偏离当前市场行情。所以数据处理先需过滤异常数据。 　　本文的异常数据过滤规则为：当成交价格偏离最近3分钟市场行情最优价均值超过20BP，则标记为异常数据，将其过滤。 　　（二）倒挂数据处理 　　不同渠道经纪商报价不能直接撮合成交，当行情存在倒挂时，手动报价撮合并不能立即消除倒挂机会。本文在假定倒挂行情存在成交可能性下，在两者之间综合选择，保留部分信息。其处理规则如下：与上一笔行情比较，取保守价格。 　　（三）基准券权重 　　由于权重不同，曲线受不同券行情波动的影响不同，进而影响曲线对不同券的定价。因此本文在权重中考虑了每只券的交易活跃度。本文在每日日初固定基准券权重，取上一交易日成交笔数的对数ln（X）+2，X为成交笔数。 　　实时利率曲线定价结果 　　本文基准券选择规则如下：对于固息国债和政策性金融债，选择过去一周成交量活跃且上一交易日存在交易的债券，其中剔除剩余期限不足1年及上市已超过3年的债券，剔除含权债、浮息债、贴现债。另外增加国债期货主力合约。最终的实时利率曲线结果如图1所示。 　　图1为2023年12月22日08∶56基于行情构建的平价曲线（Par Curve），其由零息曲线计算得出。其中虚线为上一分钟曲线，实线为当前这一分钟曲线。其中红色空心圆圈为参与构建曲线基准券的市场行情，绿色实心圆点为成交行情，上下三角形分别代表买卖报价。 　　为考察本文方法对债券的定价结果，本文选择2023年12月19日的一组债券数据。该组债券总计215只，其中包含政府债券82只、政策性金融债133只，含活跃券和非活跃券。数据时间段为08：30至18∶30，按分钟频率统计最终定价与成交行情的误差。其中以前5个交易日日均成交笔数作为债券活跃度指标，将债券划分为3组：小于5笔、大于5笔小于20笔、大于20笔。其定价结果如表1所示。结果显示越活跃债券的定价误差均值和标准差越小，这与预期一致。其中“最大值”一列显示某券定价误差的最大值。由于定价券中存在剩余期限小于0.1年的债券，其行情及定价波动较大，但全样本债券定价波动标准差为0.23BP左右。 　　对不同剩余期限债券的定价结果如表2所示。表2显示，在10年期限以内，当期限增加，曲线定价结果均值和误差减小，定价更精准；而大于10年的债券定价与期限间没有明显关系，可能与相关数据样本量偏小有关。剩余期限大于10年的债券相对小于1年的短期债券，短期债券波动更大，异常偏离也更大。短期限债券更容易受曲线变动影响，这与NS模型的特点相符。 　　基于交易曲线关键期限基点的价值对冲策略 　　（一）对冲模型 　　本文选择债券投资组合中基准组合构建代表性投资组合，考察曲线对冲效果。假定持仓组合值为V0，存在i个风险度量指标，存在L个可用的对冲工具，其值为H=（H1， H2， ．．．， HL）T，对冲工具对因子的敏感性为∂iHl，假定对冲工具的权重为p=（p1， p2， ．．．， pL）T，对冲组合的价值为H（p）=pT·H。该组合对因子的敏感性为∂iH（p）=pT∙∂iH。那么对冲的目标是尽可能对冲掉持仓组合V0对该因子的敏感性风险∂iV0。对冲组合问题转换为一个优化问题。该优化问题的目标函数为： 　　上式中，假定TCl为该对冲工具的交易成本。若定义矩阵∂H=[∂1H， ∂kH， ．．．， ∂kH]，∂V0=[∂1V0， ．．．， ∂kV0 ]T，假定权重矩阵W的对角上元素为Wk，交易成本矩阵TC对角上元素为TCl，那么上述问题转化为： 　　上述问题的解为： 　　（二）交易成本 　　在债券市场中存在买卖非同步性和信息不对称，使得交易存在成本。其中买卖的非同步性导致做市商或投资者需要被动持有一段时间，并面对价格波动带来的损益。信息不对称是交易成本存在的另一个重要原因：不同债券发行者、不同债券条款对投资者传递的信息含量不同。在进行对冲时需要考虑交易成本。本文中，交易成本TC=Dt×BA，Dt为定价期初债券久期，BA为买卖价差。 　　（三）风险敏感性计算 　　本文中资产组合的利率敏感性指标为关键期限基点价值（KRDV01，以下简称“关键期限DV01”），为曲线在关键期限上变动1个基点对债券价格的影响，可根据关键期限久期（KRD， Key-Rate Duration）计算。国债期货的风险敏感性由前文所述可交割券计算，即可交割券的敏感性除以转换因子。 　　（四）对冲策略 　　本文对冲策略是在关键期限DV01上设定两个风险阈值。当组合关键期限DV01达到第一个阈值1时，且持仓组合风险较小时，根据债券交易流动性，选择市场行情最优价挂单卖出已持有债券。在此情形下，需要考虑挂单至被点击成交的时间成本，当成交时，做市商的持仓量减少，同时做市商可以获得买卖价差。当组合关键期限DV01达到第二个阈值2时，此时在国债期货等活跃资产上对冲，可以对冲该关键期限DV01，同时减少其他关键期限DV01风险。 　　为考察交易曲线及其对冲效果，本文选择持仓组合如下：由短期子弹策略、中期子弹策略、长期子弹策略构建的梯形组合。组合中包含债券如下：1年期债券（包含140029.IB、220332.IB）、3年债券（包含220002.IB、210315.IB）、5年期债券（包含180027.IB、190205.IB）、10年期债券（包含130016.IB、230205.IB）、30年期债券（包含230009.IB、210221.IB）。组合总持仓面值1亿元，每个组合内每只券持仓面值1000万元。 　　组合采用对冲工具为30年期国债期货（TL2403）、2年期国债期货（TS2403）、10年期国债期货（T2403）、5年期国债期货（TF2403）。在2023年12月28日计算对冲结果如表3所示。表中关键期限为0.5年、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、30年。持仓组合中单券的关键期限DV01如表3所示，从该券所在行第4列开始，对应的期限列中显示该券在该期限的关键期限DV01。那么当组合总计风险敞口在设定关键期限中超过阈值1时（本例中以10年期限关键期限DV01值超过5000元）进行第一步对冲。以表3中230205.IB为例，其价差在2023年12月28日最低时为0.25BP，10年期关键期限DV01为5289.66元，总基点价值（DV01）为8162.05元，那么挂卖单进行对冲可获利2040元。 　　当在设定关键期限中超过阈值2时（本例中以5年、10年或者30年的关键期限DV01阈值超过10000元时）进行国债期货对冲。本例通过在国债期货TL2403上空20手、TS2403上空3手、T2403上空18手、TF2403上空24手，对冲成本为4220元，可以对冲掉持仓组合中在5年、10年、30年期上利率波动的大部分风险。 　　结论 　　本文从实际交易角度出发，提出了基于交易和对冲的实时利率曲线构建方法论，其中融合了国债期货，使得曲线反映了更多的市场信息，并且对市场波动反应更迅速。数据分析结果显示，NS模型对活跃券的定价比较准确、稳定，但其短端定价波动较大，与NS模型特征相符。这可以作为未来的改进优化方向。另外，组合的对冲分析需要考虑交易成本，不同对冲工具的交易成本不同。由于国债期货交易活跃，其交易成本相对较低，本文的分析案例选择国债期货作为对冲工具。 　　参考文献 　　[1]Christensen J H， Diebold F X， Rudebusch G D， The affine arbitrage-free class of Nelson–Siegel term structure models[J]． Journal of Econometrics， 2011，164 （1）． 　　[2]Coroneo L， Nyholm K， Vidova-Koleva R， How arbitrage-free is the Nelson-Siegel model？[J]．Journal of Empirical Finance[J]．2011，18（3）． 　　[3]Diebold F X， Li C， Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields[J]．Journal of Econometrics， 2006，130（2）． 　　[4]Duffie D， Kan R， A Yield-factor Model of Interest Rates[J]． Mathematical Finance， 1996，6（4）． 　　[5]Jankowitsch R， Nettekoven M， Trading strategies based on term structure model residuals[J]． The European Journal of Finance， 2008，14（4）：281-298． 　　[6]Leif B G Andersen， Vladimir V Piterbarg． Interest Rate Modeling[M]． Illustrated edition． Atlantic 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